Учебник по промышленной статистике

Учебник по контролю качества (III)


Почему используются контрольные карты?

“Статистические методы служат своеобразным путеводителем, указывающим технологам на возможность развития, улучшения или повышения качества выпускаемой продукции. Эти рекомендации носят столь радикальный характер, что являются неожиданными даже для технических специалистов, посвященных во все тайны производиства.

Следовательно, после всех очевидных настроек производства, когда нормальная логика говорит, что дальнейшие улучшения невозможны, статистические методы указывают на возможность дальнейших улучшений. Таким образом, они заставляют человека, осуществляющего поиск неисправностей и достаточно уверенного в своих убеждениях, продолжать свою работу для достижения максимального улучшения вопреки определенному мнению, что такого улучшения нельзя никаким образом достичь.”

G. J. Meyers, Jr.

Использование контрольных карт для выявления случайных причин в стабильной системе

На основе контрольных карт

,
и
можно дать ответ на важные практические вопросы.

Эти вопросы могут быть выражены в разных терминах, например: “Из одного или разных источников произведены выборки?” или “Существует одна универсальная генеральная совокупность, из которых они берутся?” или “Свидетельствуют ли эти карты о стабильном характере изменчивости?” или “Является ли эта изменчивость результатом комплекса постоянно действующих причин?” или просто “Удовлетворяют ли данные измерения требованиям статистического контроля?”

Любое решающее правило, которое приводит к выбору “Да” или “Нет”, отсекает возможность противоположного ответа. Решение о том, где провести демаркационную линию между решениями “Да” и “Нет” основывается на ожидаемых действиях при каждом ответе на этот вопрос.

В контроле качества решение: “Нет, это не комплекс постоянно действующих факторов” приведет к поиску специальных причин, вызвавших изменчивость качества, и попыткам их устранения, если это возможно.

Ответ: “Да, это комплекс постоянно действующих факторов” приведет к тому, что процесс будет оставлен сам по себе, и не будут прилагаться усилия по поиску причин изменчивости.


Иными словами, мы ищем ответ на вопрос: происходит повышение изменчивости вследствие специфических производственных обстоятельств или изменчивость обусловлена постоянно действующими производственными факторами.



Правило определения контрольных пределов, которое определяется ответом “Да” и “Нет”, в любом случае приводит к проблеме баланса издержек, вызванных ошибками двух типов – ошибкой поиска неисправности, когда на самом деле она отсутствует (когда на самом деле имеет место: “Да”) и ошибкой отказа от поиска неисправности и оставления процесса без контроля в то время как такая неисправность реально существует (верен ответ: “Нет”).

Конечно, любое правило для установления контрольных пределов должно быть практическим правилом. Общепринятой практикой является использование пределов 3-сигма. Опыт свидетельствует, что в большинстве случаев пределы 3-сигма позволяют проводить удовлетворительное разграничение этих двух типов ошибок. (Несмотря на то, что, в принципе, выбор пределов является проблемой минимизации суммы определенных издержек, это одна из самых больших практических трудностей при построении хороших оценок релевантных издержек).

Устойчивая и неустойчивая изменчивость На Рисунке 1 представлен график частотного распределения массы содержимого 260 консервных банок с томатом, которые наблюдались в течение 11-дневного периода. На первый взгляд может показаться, что это распределение говорит об удовлетворительном характере изменчивости на протяжении 11 дней.



Рисунок 1

Это утверждение не обязательно является верным. Может случиться так, что характер изменчивости претерпевает некоторые изменения в течение этого периода. Первый вопрос, на который должен быть дан ответ – является ли этот характер стабильным. Если очевидно отсутствие стабильности, это может означать, что 260 наблюдений представляют собой выборки из различных генеральных совокупностей, существующих в различные моменты времени. В этом случае полученное частотное распределение будет представлять собой взвешенное среднее по различным генеральным совокупностям, которые изменяются от выборки к выборке.



Всякий раз, когда частотное распределение используется в качестве основы для оценки возможностей производственного процесса, или вносятся преднамеренные изменения в процесс, или пересматриваются спецификации, контрольные карты становятся важным инструментом для выявления стабильности. Если обнаруживается, что процесс стабилен, аналитик может утверждать с достаточной степенью надежности, что измеряется одна генеральная совокупность, а не взвешенное среднее многих. Порядок, в котором производятся измерения, был бы всегда сохранен в учетных данных для плотности распределения.

Использование контрольных карт для интерпретации частотного распределения На Рисунках 2 и 3 показаны контрольные карты
и
для исходных данных, источником которых является Таблица 1 (Вы можете скачать файл данных в формате STATISTICA здесь). На На Рисунках 2 и 3 показаны контрольные карты
-карте нет точек, лежащих вне контрольных пределов; на
-карте одна из 52 точек находится вне контрольных пределов. Применение некоторых правил из теории серий позволяет выявить незначительные сдвиги в течение 11-дневного периода. В то время как использование этих данных для оценки m и s могло бы быть под вопросом, из этого не следует, что такое большое отклонение от устойчивого характера изменчивости неудовлетворительно с практической точки зрения. Во многих производственных процессах никогда так не происходит.

Таблица 1
Таблица 1

Номер выборки Измерение каждой банки
(по пять деталей в час)		 Среднее
 Размах
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52		 22.0
20.5
20.0
21.0
22.5
23.0
19.0
21.5
21.0
21.5
20.0
19.0
19.5
20.0
22.5
21.5
19.0
21.0
20.0
22.0
19.0
21.5
22.5
22.5
18.5
21.5
24.0
19.5
22.0
22.0
22.5
20.0
21.0
22.5
22.0
25.0
20.5
21.5
21.5
22.5
21.5
23.0
22.5
23.5
21.0
24.5
24.0
23.5
22.0
22.0
23.5
24.5		 22.5
22.5
20.5
22.0
19.5
23.5
20.0
20.5
22.5
23.0
19.5
21.0
20.5
21.5
19.5
20.5
21.5
20.5
23.5
20.5
20.5
25.0
22.0
22.0
22.0
20.5
22.0
22.5
17.5
20.0
21.0
22.0
19.5
21.5
21.0
20.0
21.0
22.0
22.0
24.5
24.0
23.5
19.5
23.0
21.0
21.5
21.0
22.5
20.5
23.5
21.0
21.5		 22.5
22.5
23.0
22.0
22.5
21.0
22.0
19.0
20.0
22.0
21.0
21.0
21.0
24.0
21.0
22.0
23.0
19.5
24.0
21.0
21.0
21.0
23.0
22.0
22.5
20.5
17.5
15.5
21.0
20.5
19.5
20.0
22.0
21.0
21.0
20.0
21.0
22.0
21.5
25.5
21.5
21.0
21.5
24.5
24.5
21.5
24.0
20.0
21.0
24.0
23.5
21.0		 24.0
23.0
22.0
23.0
22.0
22.0
20.5
19.5
22.0
23.0
20.0
21.0
20.5
23.0
21.5
21.5
21.0
22.0
20.5
22.5
20.5
19.0
22.0
19.5
21.0
16.5
21.0
20.0
22.0
24.0
21.5
21.5
20.0
21.5
20.5
20.5
19.0
20.0
20.5
20.0
21.5
21.5
20.5
21.5
23.0
22.5
22.0
20.0
22.5
22.0
21.5
24.5		 23.5
21.5
21.5
22.0
21.0
20.0
22.5
19.5
22.0
18.5
20.5
20.5
21.0
20.0
21.0
23.5
23.5
21.0
21.5
20.0
22.5
21.0
23.5
20.5
21.5
21.5
22.5
22.5
23.5
21.5
22.5
20.0
20.0
23.5
21.0
22.5
21.0
21.0
22.5
21.0
22.5
21.5
20.0
20.5
22.5
22.5
20.5
21.0
23.0
22.0
23.0
22.5		 22.9
22.0
21.4
22.0
21.5
21.9
20.8
20.0
21.5
21.6
20.2
20.5
20.5
21.7
21.1
21.8
21.6
20.8
21.9
21.2
20.7
21.5
22.6
21.3
21.1
20.1
21.4
20.0
21.2
21.6
21.4
20.7
20.5
22.0
21.1
21.6
20.5
21.3
21.6
22.7
22.2
22.1
20.8
22.6
22.4
22.5
22.3
21.4
21.8
22.7
22.5
22.8		 2.0
2.5
3.0
2.0
3.0
3.5
3.5
2.5
2.5
4.5
1.5
2.0
1.5
4.0
3.0
3.0
4.5
2.5
4.0
2.5
3.5
6.0
1.5
3.0
4.0
5.0
6.5
7.0
6.0
4.0
3.0
2.0
2.5
2.5
1.5
5.0
2.0
2.0
2.0
5.5
2.5
2.5
3.0
4.0
3.5
3.0
3.5
3.5
2.5
2.0
2.5
3.5



Таблица 1. Масса консервных банок после их заполнения
(в унциях)



Рисунок 2



Рисунок 3

-карта для выборок из нормального резервуара Шуэрта Распределение значений
случайных выборок, полученных из одной генеральной совокупности, стремится к нормальному при объеме выборки, равном или большем 4, даже если эта генеральная совокупность не является нормальной. Почти все значения (за исключением только 0.27%) в нормальном распределении лежат внутри интервала среднее ± 3-сигма.

Отсюда следует, что если в длинной последовательности измерений выборки являются нормальными и произведены из одной генеральной совокупности, то их средние почти всегда попадают внутрь интервала m ± 3s
. Это видно из рисунка 4, на котором изображена контрольная карта для средних 100 выборок по 4 из нормального резервуара Шуэрта, представленных в Таблице 2 (Вы можете скачать файл данных в формате STATISTICA здесь). Ни одна точка не выходит за контрольные пределы 45 и 15. Для 1000 выборок по 4 из этого резервуара только 2 из 1000 точек выходят за эти контрольные пределы.



Рисунок 4

Таблица 2
Таблица 2

Измерения Среднее
 Размах
R		 Стд. откл.
s
47
33
34
12
35
19
23
33
25
29
40
21
26
52
26
19
28
29
21
24
28
41
14
32
42
20
30
28
35
51
34
32
14
25
18
21
17
36
25
35
21
39
40
23
23
36
35
33
18
23
7
29
36
36
38
11
31
22
29
42
29
23
34
27
34
39
42
30
43
17
40
22
30
41
5
38
27
20
29
25
42
24
38
22
46
27
31
32
35
55
22
14
36
29
33
52
23
28
32
23		 32
33
34
21
23
37
45
12
22
32
18
18
35
29
20
1
34
25
37
22
39
32
23
28
34
38
14
29
30
13
19
28
31
44
22
31
44
48
31
21
22
22
44
25
37
52
23
15
30
30
32
30
12
37
9
44
18
47
24
26
40
22
27
40
38
19
25
25
22
31
49
39
36
37
20
26
38
23
29
35
59
32
40
52
32
29
26
46
20
25
46
24
52
21
31
34
41
22
27
23		 44
34
31
24
38
31
26
29
37
30
30
36
31
21
30
30
39
24
32
16
23
46
41
46
22
27
37
32
37
45
11
41
20
29
20
39
54
19
38
20
44
24
24
46
44
30
11
40
22
20
36
39
34
39
25
29
31
12
32
32
43
23
52
23
16
39
25
38
10
10
38
26
34
27
43
38
40
28
34
37
38
22
31
33
20
24
34
30
34
33
52
2
19
17
32
17
21
45
16
27		 35
34
34
47
40
27
37
43
33
13
11
34
29
18
20
30
17
30
25
35
21
12
42
27
34
32
43
35
26
55
16
40
35
27
33
25
13
41
30
34
19
29
18
29
34
28
5
29
25
19
38
31
25
32
39
29
25
27
44
27
29
39
28
24
28
32
42
39
28
16
37
18
18
32
26
25
33
35
29
42
28
22
52
27
50
15
35
32
46
54
42
43
50
9
18
5
29
21
30
36		 39.50
33.50
33.25
26.00
34.00
28.50
32.75
29.25
29.25
26.00
24.75
27.25
30.25
30.00
24.00
20.00
29.50
27.00
28.75
24.25
27.75
32.75
30.00
33.25
33.00
29.25
31.00
31.00
32.00
41.00
20.00
35.25
25.00
31.25
23.25
29.00
32.00
36.00
31.00
27.50
26.50
28.50
31.50
30.75
34.50
36.50
18.50
29.25
23.75
23.00
28.25
32.25
26.75
36.00
27.75
28.25
26.25
27.00
32.25
31.75
35.25
26.75
35.25
28.50
29.00
32.25
33.50
33.00
25.75
18.50
41.00
26.25
29.50
34.25
23.50
31.75
34.50
26.50
30.25
34.75
41.75
25.00
40.25
33.50
37.00
23.75
31.50
35.00
33.75
41.75
40.50
20.75
39.25
19.00
28.50
27.00
28.50
29.00
26.25
27.25		 15
1
3
35
17
18
22
31
15
19
29
18
9
34
10
29
22
6
16
19
18
34
28
19
20
18
29
7
11
42
23
13
21
19
15
18
41
29
13
15
25
17
26
23
21
24
30
25
12
11
31
10
24
7
30
33
13
35
20
16
14
17
25
17
22
20
17
14
33
21
12
21
18
14
38
13
13
15
5
17
31
10
21
30
30
14
9
16
26
30
30
41
33
20
15
47
20
24
16
13		 7.1
0.6
1.5
14.9
7.6
7.5
10.1
12.9
6.9
8.8
12.8
9.1
3.8
15.4
4.9
13.7
9.5
2.9
7.1
7.9
8.1
15.0
13.8
8.8
8.2
7.6
12.5
3.2
5.0
19.1
9.9
6.3
9.7
8.7
6.7
7.8
20.1
12.4
5.4
8.1
11.7
7.6
12.5
10.5
8.7
10.9
13.3
10.5
5.1
5.0
14.4
4.6
10.9
2.9
14.0
13.5
6.2
14.7
8.5
7.3
7.3
8.2
11.6
7.9
9.6
9.4
9.8
6.7
13.7
8.9
5.5
9.1
8.1
6.1
15.7
7.2
5.8
6.6
2.5
7.1
12.9
4.8
8.7
13.1
13.7
6.2
4.0
7.4
10.7
15.1
13.0
17.3
15.3
8.3
7.0
20.5
9.0
11.1
7.1
6.1



Таблица 2. 400 измерений из нормального резервуара Шуэрта,
объединенные в выборки по 4

На Рисунок 4 центральная линия могла быть установлена в значение 30, равное m , известному значению среднего генеральной совокупности. Пределы 3-сигма могли быть вычислены на основе известного значения s, стандартного отклонения резервуара, которое округленно равно 10. Стандартная ошибка среднего равна



Следовательно, границы 3-сигма отстояли на величину 3s
=3*5=15 от среднего 30. Это соответствует верхнему контрольному пределу 45 и нижнему контрольному пределу 15.

Неверно утверждать, что для длинной серии, при условии неизменности генеральной совокупности, за границы 3-сигма на
-карте будут выходить именно 27 точек из 10000 (т.е. 0.27% всех наблюдений). Это может быть верным только в случае, когда значения
в точности нормальные и контрольные пределы основаны на известных значениях m и s. На практике, несмотря на то что распределение значений
приблизительно нормально, этим фактом нужно пользоваться осторожно, если генеральная совокупность не нормальна; границы 3-сигма предпочтительнее вычислять по наблюдаемым данным, а не по параметрам генеральной совокупности. Следовательно, границы 3-сигма при неправильном применении могут стать плохими индикаторами отсутствия контроля по сравнению с нормальной кривой.

Тем не менее, такое неверное указание на отсутствие контроля встречается нечасто. Границы 3-сигма редко дают ошибку при обнаружении нарушения (т.е. обнаружении неслучайных причин изменчивости), когда на самом деле нарушений не происходит. Если точки на
-карте попадают вне границ 3-сигма, это хорошее основание для уверенности в том, что наблюдается влияние на изменчивость качества некоторых факторов, которые могут быть выявлены.

Вычисление границ 3-сигма для контрольных
-карт Ниже будут произведены вычисления контрольных пределов для 20 первых выборок из Таблицы 2. После вычисления средних и размахов выборок следующим шагом является вычисление
и
. Для первых 20 выборок вычисления дают







Далее оценивается s с помощью Таблицы 6. Для этого нужно определить из Таблицы 6 значение фактора d2 для данного размера выборок. В нашем случае n = 4, и Таблица 6 дает d2 = 2.059.

Оценка s,


Теперь 3s
можно вычислить по формуле
:



Верхний контрольный предел
=


Нижний контрольный предел
=


Эти два шага вычисления 3s
могут быть объединены в одном



Для облегчения вычислений контрольных пределов по
значения множителя
для всех значений n от 2 до 20 приведены в Таблице 7. Этот множитель обозначен как A2. Формулы для вычисления контрольных пределов 3-сигма для
-карты принимают вид:





Если контрольные пределы вычисляются не по
, а по
, то вычисления для первых 20 выборок принимают вид:





Далее используется значение c4 из Таблицы 6.

Оценка s,
,


Где






Как и при вычислении по
, два шага вычисления 3s
могут быть объединены в одном



Для облегчения вычислений контрольных пределов по
значения множителя
для всех значений n от 2 до 25, то есть 100 по 5, приведены в Таблице 8. Этот множитель обозначен как A3. Формулы для вычисления контрольных пределов 3-сигма с использованием этого множителя принимают вид:





Для тех ситуаций, когда желательно вычислять контрольные пределы прямо по известным стандартным значениям s и m , множитель
вычислен и приведен в Таблице 9. Этот множитель обозначен как A. Формулы для вычисления контрольных пределов 3-сигма с использованием этого множителя принимают вид:

или


или


По этим формулам были вычислены контрольные пределы для контрольной карты на рисунке 4. В данном случае для известных значений m = 30 и s = 10 значение для A в Таблице 9 равно 1.50 и





Различные уравнения для центральной линии и контрольных границ 3-сигма на контрольных картах для
,
и
собраны вместе в Таблице 3. Множители (такие как A, A1 и т.д.) берутся из таблиц, приведенных в приложении. Читатель заметит, что диапазон границ для
-карты, так же как и для
или
карты, зависит от дисперсии процесса. Пределы для всех карт могут быть вычислены прямо по известной или предполагаемой s путем оценки
или
.


В промышленной практике в большинстве случаев границы вычисляются по
.

Таблица 3
Таблица 3

Метод
-карта		 R-карта s-карта
m и s известны или предполагаемы (X0, s 0)




таблица 9




таблицы 6 и 9




таблицы 6 и 9
m и s оценены по
и




таблица 7




таблица 7
m и s оценены по
и




таблица 8		  




таблица 8
Таблица 3. Уравнения для вычисления
контрольных пределов 3-сигма (CL - центральная линия)

Контрольные карты размаха и стандартное отклонение выборки Основной формулой для контрольных пределов на
-карте является
. Подобным образом выглядят формулы для контрольных карт при измерении дисперсии выборок:
    1. Для R-карты:
    2. Для s-карты:
Однако при использовании этих трех формул для вычисления нижних контрольных пределов эти пределы станут меньше 0, когда n равно или меньше 6 для R-карт, и когда n равно или меньше 5 для s-карт. Так как R и s не могут быть меньше 0, нижняя граница в этих случаях не используется.

На Рисунках 5 и 6 показаны контрольные карты R и s для 100 выборок по четыре, представленных в Таблице 2. Пределы на этих картах вычислены с использованием соответствующих значений
и
, найденных по Таблице 2 с помощью уравнений, приведенных в Таблице 3.











Рисунок 5



Рисунок 6

Сходство изменчивости от выборки к выборке на R и s картах становится заметным при проведении линии, последовательно соединяющей все точки. Кажется очевидным, что обе карты показывают одинаковую историю. Каждая из них может быть использована для отображения истории процесса; нет необходимости использовать сразу обе.

Обычно в качестве меры разброса используется R, хотя время от времени используется s. Целью проведения вычислений как R, так и s для данных в Таблице 2 было показать, что R и s являются альтернативными измерениями одной и той же характеристики, что они приводят к сходным оценкам s, сходным контрольным пределам для
-карт и сходным контрольным картам, показывающим разброс выборок.

При практическом использовании контрольных карт в промышленности для измерения разброса выборок намного чаще используется R, а не s.


Как уже было сказано, такой выбор делается вследствие простоты вычисления R с помощью ручных расчетов. Также важно то преимущество, что R более просто для понимания; почти каждый может понять смысл размахов, тогда как люди со слабым знанием статистики с трудом понимают смысл стандартного отклонения.

Оценки s по
и
при различных объемах выборок в контролируемых процессах В предшествующем описании
-карт предполагалось, что ширина интервала между верхними и нижними контрольными пределами полностью зависит от изменчивости внутри выборок, которая измерялась с помощью среднего размаха
или с помощью среднего стандартного отклонения выборок
. Оба способа оценки,
и
, дают оценку s, стандартного отклонения генеральной совокупности. Представляет интерес изучение свойств контролируемого процесса в предположении, что эти оценки s зависят от размера выборки.

Если образцы выбираются один за другим из резервуара Шуэрта и каждый образец возвращается и образцы перемешиваются перед очередным взятием выборки, не существует некоторого естественного размера выборок; допустимо объединять образцы в выборки любого размера. Для иллюстрации эффекта различия в объеме выборок 400 отобранных образцов были разбиты на выборки по 2, 4, а затем по 8 образцов в выборке, и для каждой выборки были вычислены значения R и s. Значения
и
для выборок по 2 и по 8 были вычислены для каждого набора по 80 отобранных образцов, и для всех 400 отобранных образцов. s была оценена по
и
с использованием соответствующих множителей d2 и c4 из Таблицы 6.

В Таблице 4 показаны оценки s для каждого набора по 80 образцов и для всех 400 образцов с использованием статистик
и
для оценивания и для трех различных размеров выборок. Можно отметить весьма близкое соответствие между различными оценками s для любого набора образцов. Очевидно, что разброс оценок s от одного набора из 80 образцов к другому значительно больше, чем разброс между различными оценками для любого набора. Казалось бы, с точки зрения оценки дисперсии генеральной совокупности приемлемы многие различные размеры выборок. (Точно так же будет замечено, что
и
дают одинаковые оценки s для выборок размера 2.


Размах выборки размера 2 равен
умножить на стандартное отклонение выборки. Следовательно, d2 равно
умножить на c4, и
равно
умножить на
).

Таблица 4
Таблица 4

Наблю-
дения		 Оценки s
Выборки по 2 Выборки по 4 Выборки по 8
По
По
По
По
По
По
1-80

81-160

161-240

241-320

321-400		 8.62

10.75

9.73

8.86

11.68		 8.62

10.75

9.73

8.86

11.68		 8.94

10.51

10.51

8.89

11.56		 8.97

10.64

10.48

9.06

11.48		 9.24

10.50

9.76

8.85

11.98		 8.98

10.58

9.89

9.02

12.17
1-400 9.93 9.93 10.08 10.12 10.07 10.13
Таблица 4. Сравнение оценок стандартного отклонения
генеральной совокупности s по выборкам размера 2,4 и 8
(известное значение s = 9.95)

Несмотря на то, что достаточно хорошие оценки s могут быть получены по различным выборкам разного размера, в конкретных случаях часто имеются основания для выбора определенного размера выборки.

Распределение стандартного отклонения Gen Leslie Simon в начале своей презентации по выборочному контролю по количественным признакам привел следующую цитату из DeMorgan “A Budget of Paradoxes”:

Большие блохи съедают маленьких,
И маленькие – еще меньших, и так до бесконечности.

Был ли прав DeMorgan или нет насчет блох, но эта идея, несомненно, проводит параллель с теорией распределений в математической статистике. Генеральные совокупности позволяют строить распределения, имеющие меньший разброс, такие как распределение средних, стандартных отклонений или размахов. И если каждая генеральная совокупность имеет свое среднее и стандартное отклонение, то каждое распределение средних, стандартных отклонений или размахов имеет собственное среднее и стандартное отклонение.

К сожалению, статистическая теория не может дать нам такие полезные обобщения распределения s, как это делается для
. В случае с
теория дает ожидаемое среднее m и ожидаемое стандартное отклонение
, причем обе оценки не зависят от генеральной совокупности. Более того, теория утверждает, что в случае нормальности распределения генеральной совокупности распределение значений
также будет нормальным вне зависимости от размера выборки.


Также утверждается, что, даже если распределение генеральной совокупности не является нормальным, распределение значений
будет стремиться к нормальному при увеличении размера выборок.

Несмотря на это, если генеральная совокупность нормальна, статистическая теория может дать нам ожидаемое среднее и ожидаемое стандартное отклонение распределения s. Как уже было отмечено, в выборках из нормальной генеральной совокупности ожидаемое среднее
равно c4s. Наиболее часто используемой оценкой ss, ожидаемого стандартного отклонения распределения s для выборок из нормальной генеральной совокупности, является
. Также известно, что при увеличении n распределение s становится все более симметричным.

Теоретические знания о распределении s для выборок из нормальной совокупности позволяют строить 3-сигма границы на контрольных s-картах. Центральная линия на контрольной карте устанавливается на уровне
. Пределы задаются как
.

Приблизительное значение ss для нормальной совокупности равно

(1)

Современная статистическая теория дает точное значение, равное

(2)

Когда n велико, разность между (1) и (2) незначительна. Уравнение (2) используется для вычисления контрольных пределов, когда n равно или меньше 25; уравнение (1) используется при n, большем 25.

Когда границы 3-сигма для
-карты вычисляются по наблюдаемому
, они равны





Когда пределы основаны на известном или предполагаемом значении стандартного отклонения генеральной совокупности s, они равны





При вычислении ss для множителей B4 и B3, приведенных в Таблице 8, s полагается равной
. Множители B5 и B6 берутся из Таблицы 9.

Распределение размахов Несмотря на то, что не существует простой формулы для вычисления как ожидаемого среднего размаха R, так и для стандартного отклонения размаха sR, статистическая теория дает отношение этих величин к стандартному отклонению s для нормальной генеральной совокупности. Теория также полностью определяет ожидаемое распределение R выборок из нормальной генеральной совокупности.



Когда 3- сигма пределы вычисляются по наблюдаемому R, они равны





Когда пределы основаны на известном или предполагаемом значении стандартного отклонения s, они равны





В этих формулах множитель d2 численно выражает ожидаемое значение
, а множитель d3 выражает стандартное отклонение этой взаимосвязи. Значения d2 и d3 берутся из Таблицы 6. Множители, необходимые для вычисления контрольных пределов, содержатся в Таблицах 7 и 9.

Модификация множителя d2 для малого числа выборок При оценке s по
используется дробь
. При использовании множителя d2 математическая теория предполагает, что выборки производятся из нормальной генеральной совокупности. Множитель d2 зависит от размера выборок. Например, он равен 2.326 для выборок размером 5.

Строго говоря, обоснованное применение точного значения множителя d2 предполагает что размахи усреднены по достаточно хорошему количеству выборок, скажем, 20 или больше. В случае, когда доступно небольшое количество выборок, наилучшая оценка s получается при использовании множителя, который обычно обозначается как
. Таблица 5 показывает зависимость этого множителя от числа выборок для случая, когда размер выборок равен 5.

Таблица 5
Таблица 5

Число выборок по 5
Число выборок по 5
1 2.474 8 2.346
2 2.405 10 2.342
3 2.379 12 2.339
5 2.358 20 2.334
6 2.353 бесконечность 2.326
Таблица 5. Отношение
ожидаемого
к s в усредненных размахах
для различных размеров выборок по 5
из нормальной генеральной совокупности

Обычно при построении контрольных карт для контроля качества в промышленности для практических целей больше подходят множители, основанные на d2, а не на
. Однако в некоторых других статистических приложениях желательно использовать
.

Роль контрольных карт в устранении причин неполадок Контрольные карты для переменных являются руководством к различного рода действиям. Некоторые из этих действий, в частности, связанные со спецификациями и допусками и с процедурой приемки, основываются на уверенности в том, что процесс находится под контролем.


Для таких действий хорошо было бы понять свойства систем с комплексом постоянно действующих причин.

Другие полезные действия основываются на предположении, что процесс не находится под контролем. Примером служит поиск неисправностей в производственном процессе. Такие контрольные карты в одних случаях говорят: “Предоставьте этот процесс самому себе”, а в других – “Ищите неисправность и попробуйте устранить ее”.

Боле полезным свойством контрольных карт является то, что они говорят – в разумных пределах – когда нужно искать причины изменчивости. Всегда полезно знать этот момент; иногда это может быть полезно для выявления того, где нужно проводить поиск. Знание этого значительно облегчает сложную работу с момента принятия решения о поиске неисправности до фактического обнаружения и устранения причин неполадок. Этот факт лежит в основе известного утверждения H.F.Dodge: “Статистический контроль качества - это на 90% инженерное дело и на 10% - статистика”.

Контрольные карты сами по себе не могут точно указывать, где может быть найдена причина неисправности. Тем не менее, пользователи метода контрольных карт иногда развивают способность диагностики причин с поразительной точностью. Такие возможности обычно зависят от понимания принципов контрольных карт в сочетании с хорошими знаниями конкретных технологических процессов, к которым применяются контрольные карты.

Не существует общей книги по статистическому контролю качества, которая описывала бы все возможные технологические процессы. Тем не менее, может быть создано руководство по статистическим аспектам интерпретации контрольных карт для поиска и устранения неисправностей. Мы можем попытаться предоставить такое руководство путем обследования некоторых общих случаев, в которых может произойти выход из-под контроля и указания эффективности каждого применения контрольных карт
и
.

Выход из-под контроля означает сдвиг в генеральной совокупности Метод выборки фишек из резервуара является полезной аналогией в разъяснении, что реально происходит, когда производственный процесс выходит из-под контроля.


Система случайных причин в каждый момент времени соответствует выборке, то есть распределению фишек в резервуаре. Изделия, фактически производимые в эти моменты, соответствуют выборкам, произведенным из этого резервуара или, иными словами, из этой генеральной совокупности. Когда точки выходят за пределы на контрольных картах, становится очевидным, что генеральная совокупность подверглась изменениям; это соответствует тому, что выборки были сделаны из различных резервуаров.

Обычно изделия, произведенные в какой-либо период времени, образуют выборку из генеральной совокупности, большую, чем изделия, фактически измеренные в течение того же самого периода для учета контрольными картами. Таким образом, контрольные карты предоставляют факты не только относительно генеральной совокупности (то есть системы случайных причин), но и относительно произведенных изделий, которые не были измерены.

Классификация состояний, в которых может возникнуть выход из-под контроля Поскольку отсутствие контроля соответствует случаю изменения резервуара, классификация различных типов отсутствия контроля может пониматься как классификация состояний, в которых два резервуара отличаются распределением вероятностей фишек. Полезно отдельно рассматривать три случая, в которых генеральные совокупности:
  1. могут различаться только по среднему;
  2. могут различаться только по дисперсии;
  3. могут различаться по среднему и по дисперсии.
Сдвиги по среднему генеральной совокупности отображаются на контрольных картах
и
одним образом, сдвиги по дисперсии генеральной совокупности – другим образом.

Сдвиги в генеральной совокупности могут продолжаться в течение длительного времени, как если производится изъятие большого числа выборок из одного резервуара и затем значительно большее число выбирается из другого резервуара. Или сдвиги могут быть частыми и нерегулярными как если существует значительное число резервуаров с выборками, произведенными из каждого резервуара в течение различных периодов времени. Или сдвиги могут быть последовательными и систематическими.



На Рисунке 7 частотная кривая описывает генеральную совокупность, или резервуар, то есть комплекс случайных причин по операциям в любой момент времени. Рисунок 7-a показывает ситуацию, в которой генеральная совокупность имеет постоянное среднее, затем происходит сдвиг в сторону увеличения, а в конце среднее падает до начального значения. Рисунок 7-b показывает ситуацию, в которой среднее генеральной совокупности неустойчиво, а дисперсия генеральной совокупности остается постоянной. На Рисунке 7-c среднее генеральной совокупности постепенно увеличивается. Рисунок 7-d показывает ситуацию, в которой, несмотря на то, что среднее генеральной совокупности остается неизменным, дисперсия генеральной совокупности удваивается. Рисунок 7-e представляет генеральную совокупность с непостоянными средним и дисперсией.



Рисунок 7

Изменения среднего генеральной совокупности На производстве чаще всего наблюдается такая ситуация выхода из-под контроля, когда происходит сдвиг среднего генеральной совокупности, а ее дисперсия почти не изменяется. В таких случаях контрольные карты являются весьма ценными для настройщика машин, так как помогают ему производить регулировку механизмов для достижения желательного среднего процесса. Этот тип выхода из-под контроля регистрируется контрольными
-картами; если внутри выборок не происходят изменения среднего генеральной совокупности, то
-карты будут показывать, что процесс находится под контролем.

В тех случаях, когда контрольные карты используются для выявления изменений среднего генеральной совокупности, соответствующая схема отбора выборок отличается от случаев, когда контрольные карты служат нескольким целям, включая приемочный контроль.

Так как, как объяснялось ранее, контрольные пределы устанавливаются достаточно от центральной линии на карте для того чтобы меньше точек лежало за пределами без реальных изменений в генеральной совокупности, малые сдвиги среднего генеральной совокупности не являются причинами выхода большого числа точек из-под контроля.


Для этих целей часто полезно дополнить данные, полученные положением точек относительно контрольных пределов данными, полученными с помощью тестов, основанными на статистической теории серий или последовательностей.

Приложение Таблица 6
Таблица 6

Число наблюдений в выборке, n Множитель d2,
 Множитель d3,
 Множитель c2,
 Множитель c4,
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100		 1.128
1.693
2.059
2.326
2.534
2.704
2.847
2.970
3.078
3.173
3.258
3.336
3.407
3.472
3.532
3.588
3.640
3.689
3.735
3.778
3.819
3.858
3.895
3.931
4.086
4.213
4.322
4.415
4.498
4.572
4.639
4.699
4.755
4.806
4.854
4.898
4.939
4.978
5.015		 0.8525
0.8884
0.8798
0.8641
0.8480
0.8332
0.8198
0.8078
0.7971
0.7873
0.7785
0.7704
0.7630
0.7562
0.7499
0.7441
0.7386
0.7335
0.7287
0.7242
0.7199
0.7159
0.7121
0.7084
0.6926
0.6799
0.6692
0.6601
0.6521
0.6452
0.6389
0.6337
0.6283
0.6236
0.6194
0.6154
0.6118
0.6084
0.6052		 0.5642
0.7236
0.7979
0.8407
0.8686
0.8882
0.9027
0.9139
0.9227
0.9300
0.9359
0.9410
0.9453
0.9490
0.9523
0.9551
0.9576
0.9599
0.9619
0.9638
0.9655
0.9670
0.9684
0.9696
0.9748
0.9784
0.9811
0.9832
0.9849
0.9863
0.9874
0.9884
0.9892
0.9900
0.9906
0.9912
0.9916
0.9921
0.9925		 0.7979
0.8862
0.9213
0.9400
0.9515
0.9594
0.9650
0.9693
0.9727
0.9754
0.9776
0.9794
0.9810
0.9823
0.9835
0.9845
0.9854
0.9862
0.9869
0.9876
0.9882
0.9887
0.9892
0.9896
0.9914
0.9927
0.9936
0.9943
0.9949
0.9954
0.9958
0.9961
0.9964
0.9966
0.9968
0.9970
0.9972
0.9973
0.9975
Таблица 6. Множители для оценки s по
,
или
и
по


Все множители вычислены при предположении о нормальности генеральной совокупности

Таблица 7
Таблица 7

Число наблюдений в выборке, n Множитель для
-карты,
A2		 Множители для R карт
НКП
D3		 ВКП
D4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20		 1.88
1.02
0.73
0.58
0.48
0.42
0.37
0.34
0.31
0.29
0.27
0.25
0.24
0.22
0.21
0.20
0.19
0.19
0.18		 0
0
0
0
0
0.08
0.14
0.18
0.22
0.26
0.28
0.31
0.33
0.35
0.36
0.38
0.39
0.40
0.41		 3.27
2.57
2.28
2.11
2.00
1.92
1.86
1.82
1.78
1.74
1.72
1.69
1.67
1.65
1.64
1.62
1.61
1.60
1.59



Таблица 7. Множители для определения по

контрольных пределов 3-сигма для
и R карт

Верхний контрольный предел для


Нижний контрольный предел для


Верхний контрольный предел для


Нижний контрольный предел для


Все множители в таблице основаны на нормальном распределении

Таблица 8
Таблица 8

Число наблюдений в выборке, N Множитель для
-карты
с использованием

A1		 Множитель для
-карты
с использованием

A3		 Множители для s и s rms карт
НКП
B3		 ВКП
B4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100		 3.76
2.39
1.88
1.60
1.41
1.28
1.17
1.09
1.03
0.97
0.93
0.88
0.85
0.82
0.79
0.76
0.74
0.72
0.70
0.68
0.66
0.65
0.63
0.62
0.56
0.52
0.48
0.45
0.43
0.41
0.39
0.38
0.36
0.35
0.34
0.33
0.32
0.31
0.30		 2.66
1.95
1.63
1.43
1.29
1.18
1.10
1.03
0.98
0.93
0.89
0.85
0.82
0.79
0.76
0.74
0.72
0.70
0.68
0.66
0.65
0.63
0.62
0.61
0.55
0.51
0.48
0.45
0.43
0.41
0.39
0.37
0.36
0.35
0.34
0.33
0.32
0.31
0.30		 0
0
0
0
0.03
0.12
0.19
0.24
0.28
0.32
0.35
0.38
0.41
0.43
0.45
0.47
0.48
0.50
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.60
0.63
0.66
0.68
0.70
0.71
0.72
0.73
0.74
0.75
0.76
0.77
0.77
0.78
0.79		 3.27
2.57
2.27
2.09
1.97
1.88
1.81
1.76
1.72
1.68
1.65
1.62
1.59
1.57
1.55
1.53
1.52
1.50
1.49
1.48
1.47
1.46
1.45
1.44
1.40
1.37
1.34
1.32
1.30
1.29
1.28
1.27
1.26
1.25
1.24
1.23
1.23
1.22
1.21
Таблица 8. Множители для определения по
и

контрольных пределов 3-сигма для
и s или s rms карт

Верхний контрольный предел для


Нижний контрольный предел для


Верхний контрольный предел для s и


Нижний контрольный предел для s и


Все множители в таблице основаны на нормальном распределении

Таблица 9
Таблица 9

Число наблюдений в выборке, n Множители для
-карт,
A		 Множители для R карт Множители для s rms карт Множители для s карт
НКП
D1		 ВКП
D2		 НКП
B1		 ВКП
B2		 НКП
B5		 ВКП
B6
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100		 2.12
1.73
1.50
1.34
1.22
1.13
1.06
1.00
0.95
0.90
0.87
0.83
0.80
0.77
0.75
0.73
0.71
0.69
0.67
0.65
0.64
0.63
0.61
0.60
0.55
0.51
0.47
0.45
0.42
0.40
0.39
0.37
0.36
0.35
0.34
0.33
0.32
0.31
0.30		 0
0
0
0
0
0.20
0.39
0.55
0.69
0.81
0.92
1.03
1.12
1.21
1.28
1.36
1.43
1.49
1.55		 3.69
4.36
4.70
4.92
5.08
5.20
5.31
5.39
5.47
5.53
5.59
5.65
5.69
5.74
5.78
5.82
5.85
5.89
5.92		 0
0
0
0
0.03
0.10
0.17
0.22
0.26
0.30
0.33
0.36
0.38
0.41
0.43
0.44
0.46
0.48
0.49
0.50
0.52
0.53
0.54
0.55
0.59
0.62
0.65
0.67
0.68
0.70
0.71
0.72
0.74
0.75
0.75
0.76
0.77
0.77
0.78		 1.84
1.86
1.81
1.76
1.71
1.67
1.64
1.61
1.58
1.56
1.54
1.52
1.51
1.49
1.48
1.47
1.45
1.44
1.43
1.42
1.41
1.41
1.40
1.39
1.36
1.33
1.31
1.30
1.28
1.27
1.26
1.25
1.24
1.23
1.23
1.22
1.22
1.21
1.20		 0
0
0
0
0.03
0.11
0.18
0.23
0.28
0.31
0.35
0.37
0.40
0.42
0.44
0.46
0.48
0.49
0.50
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.60
0.63
0.66
0.68
0.69
0.71
0.72
0.73
0.74
0.75
0.76
0.77
0.77
0.78
0.78		 2.61
2.28
2.09
1.96
1.87
1.81
1.75
1.71
1.67
1.64
1.61
1.59
1.56
1.54
1.53
1.51
1.50
1.48
1.47
1.46
1.45
1.44
1.43
1.42
1.38
1.36
1.33
1.31
1.30
1.28
1.27
1.26
1.25
1.24
1.24
1.23
1.22
1.22
1.21



Таблица 9. Множители для определения по s
контрольных пределов 3-сигма для
, R, s или s rms карт

,








 

Содержание раздела